Hier sammle ich Lösungsskizzen für Höhere-Mathematik-Klausuren am KIT, für die mir keine offizielle Lösung vorliegt, sowie ergänzende Anmerkungen zu vorhandenen Lösungen.

Gerne können weitere Lösungen als LaTeX-Snippets gesendet werden.

Die Lösungsskizzen beziehen sich auf die jeweiligen Aufgabenblätter. Mit $R$ bezeichne ich im Folgenden den Konvergenzradius einer Potenzreihe.

Frühjahr 2012 #

HM1 #

Aufgabe 2 #

a) (i) Durch Erweitern mit der konjugierten Wurzel erhält man für $x>2/3$:

(ii) Die Regel von L’Hôpital ist anwendbar. Da $x e^{-x}\to 0$ und $x^2e^{-x}\to 0$ für $x\to\infty$, folgt:

b) (i) Nach der Formel von Cauchy-Hadamard gilt:

Für $x=-1$ konvergiert die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/\sqrt n$ nach dem Leibnizkriterium, da $1/\sqrt n$ monoton gegen null fällt. Für $x=1$ divergiert die Reihe, denn $1/\sqrt n\geq 1/n$, und die harmonische Reihe divergiert. Insgesamt gilt also:

(ii) Für die Fakultätskoeffizienten an den geraden Indizes betrachtet man:

Dies folgt beispielsweise aus der Stirlingformel. Sind die ungeraden Koeffizienten null, folgt daraus $R=\infty$, und die Potenzreihe konvergiert auf ganz $\mathbb R$.

c) (i) Es handelt sich um eine geometrische Reihe:

(ii) Die Partialsummen bilden eine Teleskopsumme:

Aufgabe 3 #

a) falsch; Gegenbeispiele sind die Nullfunktion und der Sinus.

b) falsch; Gegenbeispiel: eine monoton wachsende Folge.

c) wahr; Satz von Bolzano-Weierstraß.

d) wahr; Zwischenwertsatz, versteckt hinter einem Supremum auf einem kompakten Intervall.

e) wahr.

f) wahr.

HM2 #

Aufgabe 2 #

a) wahr; Satz von Schwarz.

b) wahr; Fangfrage: $f$ ist als differenzierbar vorausgesetzt! Die Definition der Differenzierbarkeit gilt insbesondere für $\lVert(h_1,h_2)\rVert\to 0$.

c) wahr; bei einer differenzierbaren reellwertigen Funktion lässt sich die Ableitung durch den Gradienten darstellen: $Df(x)[h]=\langle\nabla f(x),h\rangle$.

d) wahr.

e) falsch; die semidefinite Hesse-Matrix $H_f(0,0)$ allein erlaubt keine Entscheidung darüber, ob in $(0,0)$ ein Extremum vorliegt.

f) falsch; es fehlt die Funktionaldeterminante, also der Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix der Substitutionsfunktion für Zylinderkoordinaten.

Herbst 2012 #

HM1 #

Aufgabe 2 #

a) wahr.

b) falsch; Gegenbeispiel: $f(x)=-e^{x^2}$.

c) falsch; Gegenbeispiel: eine monoton wachsende Folge.

d) wahr.

e) wahr.

f) falsch; für das Wurzelkriterium fehlt der $\limsup_{n\to\infty}$. Gegenbeispiel: $a_n=(1/2)^n$.

Aufgabe 3 #

a) (i) Die Regel von L’Hôpital ist anwendbar und liefert:

(ii) Der Zähler ist beschränkt, während der Nenner gegen unendlich geht:

b) Einmal partiell integrieren:

c) Für $x>0$ gilt nach Definition der reellen Potenz:

d) Wir schreiben die Reihe als Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $-1$:

Für die geraden Indizes gilt:

Da die ungeraden Koeffizienten null sind, folgt $\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{|b_m|}=1$ und damit $R=1$. Die Reihe konvergiert also für $x\in(-2,0)$. An beiden Randpunkten $x=-2$ und $x=0$ ist $(x+1)^{2n}=1$. Dort konvergiert die Reihe ebenfalls, denn

Insgesamt konvergiert die Potenzreihe genau für $x\in[-2,0]$.

e) Für die Potenzreihe $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{5n}x^n$ gilt:

Für $x=-1$ divergiert die Reihe, da sie dann ein positives Vielfaches der harmonischen Reihe ist. Für $x=1$ konvergiert sie als Vielfaches der alternierenden harmonischen Reihe. Insgesamt konvergiert sie genau für $x\in(-1,1]$.

HM2 #

Aufgabe 1 #

a) wahr.

b) falsch; der hier verwendete Satz setzt voraus, dass $A$ kompakt ist. Ein Gegenbeispiel findet sich im HM1-Teil, Aufgabe 2 b).

c) falsch; Gegenbeispiel: $f(x,y)=x$.

d) falsch; $H_f(x)$ könnte auch semidefinit sein.

e) wahr.

f) wahr.

Frühjahr 2014 #

HM1 #

Aufgabe 2 #

a) (i) Die Regel von L’Hôpital anwenden und anschließend $x=0$ einsetzen:

(ii) Direktes Einsetzen und $\log(e)=1$ liefern:

b) (i) Der Konvergenzradius ist $R=1$.

Frühjahr 2017 #

Für diese Klausur lag mir beim Schreiben keine Lösung vor. Mal sehen, wie viel Motivation ich habe, alle Aufgaben hier einzutragen.

HM1 #

Aufgabe 1 #

b) Mit der Bernoullischen Ungleichung erhält man für $n\geq1$:

Beide Schranken konvergieren gegen 1. Nach dem Sandwichkriterium gilt daher:

Aufgabe 2 #

a) Definiere $f:\mathbb R\to\mathbb R$ durch $f(x)=\frac12e^{-x}-2x$. Diese Funktion ist beliebig oft stetig differenzierbar, also $f\in C^\infty(\mathbb R)$. Da $f(0)=1/2>0$ und $f(1)=1/(2e)-2<0$, besitzt $f$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle in $(0,1)$.

b) Es gilt $f'(x)=-\frac12e^{-x}-2<0$ für alle $x\in\mathbb R$. Somit ist $f$ streng monoton fallend und damit injektiv. Die Nullstelle aus a) ist also eindeutig.

Aufgabe 3 #

a) Für die punktweise Konvergenz gegen die Nullfunktion betrachtet man zunächst $f_n(0)=0$. Für jedes feste $x\in(0,1]$ existiert außerdem ein $n_0\in\mathbb N$ mit $x\in(1/n_0,1]$. Aus der Definition der Funktionenfolge folgt dann $f_n(x)\to0$. Um zu zeigen, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist, betrachtet man die Folge $x_n=1/\sqrt n$ und zeigt, dass $f_n(x_n)$ nicht gegen null konvergiert.

b) Wähle die Nullfolge $a_n=e^{-(2\pi+\frac\pi2)n}$. Für diese Folge gilt $f(a_n)\not\to0$.

Aufgabe 4 #

1. Nullstellen und Extrema des Sinus einsetzen: $\{0,1/2\}$.

2. Die Regel von L’Hôpital zweimal anwenden:

   $$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\log(\cos(3x))}{\log(\cos(2x))} &=\lim_{x\to0}\frac{-3\tan(3x)}{-2\tan(2x)}\\ &=\lim_{x\to0}\frac{-9/\cos^2(3x)}{-4/\cos^2(2x)} =\frac94. \end{aligned}$$

3. Mit $u=1+\cos(x)$ und $du=-\sin(x)\,dx$ folgt:

   $$\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\,dx =-\int_2^1\frac1u\,du =-\left[\log(u)\right]_2^1 =\log(2).$$

4. Das uneigentliche Integral divergiert gegen $+\infty$. Da $2+\cos(x)\leq3$ und der Nenner positiv ist, gilt:

   $$\frac{\sin^2(x)}{2+\cos(x)}\geq\frac{\sin^2(x)}3.$$

   Für $T>0$ folgt daraus:

   $$\int_0^T\frac{\sin^2(x)}{2+\cos(x)}\,dx \geq\frac13\int_0^T\sin^2(x)\,dx =\frac T6-\frac{\sin(2T)}{12} \xrightarrow{T\to\infty}+\infty.$$

5. Aus $\lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n=e^x$ folgt:

   $$\frac1R =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac2n\right)^{n^2}} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac2n\right)^n =e^2.$$

   Damit ist $R=e^{-2}$. An den Randpunkten $x=\pm e^{-2}$ gehen die Beträge der Reihenglieder nicht gegen null, denn

   $$\left(1+\frac2n\right)^{n^2}e^{-2n} =\exp\left(n^2\log\left(1+\frac2n\right)-2n\right) \xrightarrow{n\to\infty}e^{-2}>0.$$

   Die Potenzreihe konvergiert daher genau für $x\in(-e^{-2},e^{-2})$.

6. Für die Koeffizienten gilt nach dem Sandwichkriterium:

   $$0\leq\sqrt[n]{\left(\frac13+\frac1{2n}\right)^{n^2}} =\left(\frac13+\frac1{2n}\right)^n \leq\left(\frac56\right)^n \xrightarrow{n\to\infty}0.$$

   Damit ist $R=\infty$, und die Potenzreihe konvergiert für alle $x\in\mathbb R$.

Winter 2018 #

Hier liegt eine gute Lösung vor. Trotzdem zwei Anmerkungen:

HM1 #

Auf die Lösung von Aufgabe 4 b) kommt man auch, ohne den Weg über die Potenzreihendarstellung des $\sinh$ zu gehen. Mit der Regel von L’Hôpital und den Identitäten $\sinh(0)=0$, $\cosh(0)=1$ sowie $\sinh''=\cosh'=\sinh$ lässt sich der Grenzwert ebenfalls berechnen.

HM2 #

Die Lösung von Aufgabe 4 d) ist zwar sehr elegant, aber auch nicht ganz offensichtlich. Ein anderer Weg wäre, die absolut konvergente Reihe in Summen über gerade und ungerade $n$ aufzuteilen. Für ungerade $n$ werden dabei nur rein imaginäre Zahlen summiert. Das Umschreiben in geometrische Reihen liefert das gewünschte Ergebnis.